Question

已知直角坐標系中有一點A(-4，3)，點B在x軸上，△AOB是等腰三角形。
(1)求滿足條件的所有點B的坐標。（直接寫出答案）
(2)求過O、A、B三點且開口向下的拋物線的函數解析式。（只需求出滿足條件的即可）。
(3)在(2)中求出的拋物線上存在點p，使得以O、A、B、P四點為頂點的四邊形是梯形，求滿足條件的所有點P的坐標及相應梯形的面積。

Answer 1

(1)（-5，0）；（5，0）；（-8，0）；（-，0）．(2) 當AB=OA時，y=-x²-x；當OA=OB時，同理得y=-x²-x；(3) （4，-9），48．（-12，-9），48. (1，-），．（-9，-27），75．

試題分析：（1）根據點A的坐標，易求得OA=5，若△AOB是等腰三角形，應分三種情況考慮：
①OA=OB=5，由于點B的位置不確定，因此要分B在x軸正、負半軸兩種情況求解，已知了OB的長，即可得到點B的坐標；
②OA=AB=5，此時點B只能在x軸負半軸上，那么點B的橫坐標應為點A橫坐標的2倍，可據此求得點B的坐標；
③AB=OB=5，此時點B只能在x軸負半軸上，可在x軸上截取AD=OA，通過構建相似三角形：△OBA∽△OAD，通過所得比例線段來求出OB的長，從而得到點B的坐標．
（2）任選一個（1）題所得的B點坐標，利用待定系數法求解即可．
（3）解此題時，雖然不同的拋物線有不同的解，但解法一致；分兩種情況：
①OA∥BP時，可分別過A、P作x軸的垂線，設垂足為C、E，易證得△AOC∽△PBE，根據所得比例線段，即可求得點P的坐標．而梯形ABPO的面積可化為△ABO、△PBO的面積和來求出．
②OP∥AB時，方法同上，過P作PF⊥x軸于F，然后通過相似三角形：△ABC∽△POF，來求出P點坐標，梯形面積求法同上．（當OA=AB時，兩種情況的點P正好關于拋物線對稱軸對稱，可據此直接求出P點坐標，避免重復計算．）
作AC⊥x軸，由已知得OC=4，AC=3，OA=
（1）當OA=OB=5時，
如果點B在x軸的負半軸上，如圖（1），點B的坐標為（-5，0）；
如果點B在x軸的正半軸上，如圖（2），點B的坐標為（5，0）；

當OA=AB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（3），BC=OC，則OB=8，點B的坐標為（-8，0）；
當AB=OB時，點B在x軸的負半軸上，如圖（4），在x軸上取點D，使AD=OA，可知OD=8．

由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，
則，
解得OB=，
點B的坐標為（-，0）．
（2）當AB=OA時，拋物線過O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三點，
設拋物線的函數表達式為y=ax²+bx，
可得方程組
，
解得，
∴y=-x²-x；
當OA=OB時，同理得y=-x²-x；
（3）當OA=AB時，若BP∥OA，如圖（5），作PE⊥x軸，
則∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，
∴△AOC∽△PBE，
∴．
設BE=4m，PE=3m，則點P的坐標為（4m-8，-3m），
代入y=-x²-x，
解得m=3；
則點P的坐標為（4，-9），
S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=48．
若OP∥AB，根據拋物線的對稱性可得點P的坐標為（-12，-9），
S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48．

當OA=OB時，若BP∥OA，如圖（6），作PF⊥x軸，
則∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，
△AOC∽△PBF，
；
設BF=4m，PF=3m，則點P的坐標為（4m-5，-3m），
代入y=-x²-x，
解得m=．則點P的坐標為（1，-），
S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=．
若OP∥AB（圖略），作PF⊥x軸，
則∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，
△ABC∽△POF，
；
設點P的坐標為（-n，-3n），
代入y=-x²-x，
解得n=9．
則點P的坐標為（-9，-27），S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=75．