Question

如圖1，直線y=

3

4

x-1與拋物線y=-

1

4

x2交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若以AB為直徑的圓與直線x=m有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）如圖2，把拋物線向右平移2個(gè)單位，再向上平移n個(gè)單位（n＞0），拋物線與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，過C、P、Q三點(diǎn)的圓的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值和此時(shí)n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線解析式與二次函數(shù)解析式組成方程組，求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而求得AB的長(zhǎng)．
（2）由點(diǎn)A，B求得圓的圓心設(shè)為點(diǎn)O，由AB的長(zhǎng)度求得圓半徑而得到圓方程，代入x=m求判別式≥0即可．
（3）由拋物線平移后為：y=-

1

4

(x-2)2+n，其對(duì)稱軸是x=2．由于過P、Q的圓的圓心必在對(duì)稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，即點(diǎn)C到圓心的距離要最短，過C作CE垂直拋物線的對(duì)稱軸，垂足為E，則符合條件的圓是以E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑的圓，求得圓的面積和n的值．

解答：解：由題意：

y= 3 4 x-1 y=- 1 4 x2

，
解得：x²+3x-4=0，
即x=-4或x=1．
代入求得y=-4或-

1

4

，

x=-4 y=-4

或

x=1 y=- 1 4

，
即點(diǎn)A（-4，-4）B（1，-

1

4

），
則AB=

52+( 15 4 ) 2

=

25

4

；

（2）由（1）可得A，B中點(diǎn)即圓的圓心點(diǎn)O為（-

3

2

，-

17

8

），
半徑為

1

2

AB=

25

8

，
∵以AB為直徑的圓與x=m②有公共點(diǎn)，
∴-

3

2

-

25

8

≤m≤-

3

2

+

25

8

，
即-

37

8

≤m≤

13

8

；

（3）拋物線平移后為：y=-

1

4

(x-2)2+n．
存在．
理由如下：拋物線平移后為：y=-

1

4

(x-2)2+n，其對(duì)稱軸是x=2．
由于過P、Q的圓的圓心必在對(duì)稱軸上，要使圓的面積最小，則圓的半徑要最小，
即點(diǎn)C到圓心的距離要最短，過C作CE垂直拋物線的對(duì)稱軸，垂足為E，
則符合條件的圓是以E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑的圓，
其面積為4π，n的值0.75．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次方程的綜合運(yùn)用，運(yùn)用直線和二次函數(shù)方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，以及通過求二次方程的判別式是否≥0，來判定其是否有解．以及考查拋物線的移動(dòng)問題．