Question

條件：如下左圖，、是直線同旁的兩個定點．問題：在直線上確定一點，使的值最小．方法：作點關于直線的對稱點，連結交于點，則的值最小（不必證明）．

模型應用：

（1）如圖1，正方形的邊長為2，為的中點，是上一動點．連結，由正方形對稱性可知，與關于直線對稱．連結交于，則的最小值是___________；

（2）如圖2，的半徑為2，點在上，，，是上一動點，求的最小值；

（3）如圖3，，是內一點，，分別是上的動點，求周長的最小值．

Answer 1

（1） 　 　　　　　　　　　 　

（2）延長AO交⊙o于點D，連接CD交OB于P　則PA=PD，PA+PC=PC+PD=CD 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

連接ＡＣ，∵ＡＤ為直徑，∴∠ACD＝９０°，ＡＤ＝４

∵∠AOC＝６０°，∴∠ADC＝３０°　　　　　　　　

在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ＝cos30°?AD=，即PA+PC的最小值為

（3）解：分別作點P關于OA，OB的對稱點E，F，連接EF交OA，OB于R，Q，則△PRQ的周長為：EF

∵OP=OE=OF=10, ∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,　　　　　　　　　　　

∵∠AOB=45°, ∴∠EOF=90°

在Rt△EOF中，∵OE=OF=10，∴EF=10，即△PRQ的周長最小值為10