Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知動點P在正比例函數y=x的圖象上，點P的橫坐標為m（m＞0），以點P為圓心， m為半徑的圓交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于C、D兩點（點D在點C的上方）．點E為平行四邊形DOPE的頂點（如圖）．
（1）寫出點B、E的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）連接DB、BE，設△BDE的外接圓交y軸于點Q（點Q異于點D），連接EQ、BQ，試問線段BQ與線段EQ的長是否相等？為什么？
（3）連接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，連接PB，過點P作PM⊥x軸于點M．

由題意可知，OM=PM=m，PB= m．

在Rt△PBM中，由勾股定理得：

BM= = =2m，

∴OB=OM+BM=m+2m=3m，

∴B（3m，0）；

連接PD，過點P作PN⊥y軸于點N，同理可求得DN=2m，OD=3m．

過點D作DR⊥PE于點R，

∵平行四邊形DOPE，∴∠ODE+∠DOP=180°；

由題意可知，∠DOP=45°，∴∠ODE=135°，

∴∠EDR=45°，即△EDR為等腰直角三角形，

∴ER=DR=OM=m，EM=ER+RM=ER+OD=m+3m=4m，

∴E（m，4m）

（2）解：相等．理由如下：

依題意畫出圖形，如圖②所示．

由（1）知，∠ODE=∠BDO+∠BDE=135°，

又OB=OD=3m，即△OBD為等腰直角三角形，∴∠BDO=45°，

∴∠BDE=90°，即△BDE為直角三角形．

由圓周角定理可知，BE為△BDE外接圓的直徑，∴∠BQE=90°．

過點E作EK⊥y軸于點K，則有EK=m，OK=4m．

∵∠BQE=90°，∴∠EQK+∠BQO=90°，又∠BQO+∠QBO=90°，

∴∠EQK=∠QBO．

∴Rt△EQK∽Rt△QBO，

∴ ，即 ，解得OQ=m或OQ=3m，

∵點Q與點D不重合，∴OQ=m，

∴OQ=EK，即相似比為1，此時兩個三角形全等，

∴BQ=EQ

（3）解：如圖②所示，連接BC．

由（1）可知，如圖①，CD=2DQ=4m，∴OC=CD﹣OD=m．

由（2）可知，△BDE為直角三角形，△EDK與△BDO均為等腰直角三角形，

∴DE= EK= m，BD= OB=3 m．

在Rt△BDE與Rt△BOC中，OC=m，OB=3m，DE= m，BD=3 m，

∴ ，∴Rt△BDE∽Rt△BOC，

∴∠OBC=∠DBE，

∴∠DBC﹣∠DBE=（∠OBD+∠OBC）﹣∠DBE=∠OBD=45°．

【解析】（1）如圖①所示，過點P作PM⊥x軸于點M，構造直角三角形，利用垂徑定理與勾股定理求出點B的坐標；同理可求得點D的坐標，過點D作DR⊥PE于點R，則△EDR為等腰直角三角形，從而求出點E的坐標；（2）如圖②所示，首先推出△BDE為直角三角形，由圓周角定理可知，BE為△BDE外接圓的直徑，因此∠BQE=90°；然后證明Rt△EQK∽Rt△QBO，通過計算線段之間的比例關系，可以得到這兩個三角形全等，所以BQ=EQ；（3）如圖②所示，本問要點是證明Rt△BDE∽Rt△BOC，得到∠OBC=∠DBE，進而計算可得∠DBC﹣∠DBE=45°．