Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點的坐標為，直線與軸相交于點，連結，拋物線沿射線方向平移得到拋物線，拋物線與直線交于點，設拋物線的頂點的橫坐標為．

（1）求拋物線的解析式（用含的式子表示）；

（2）連結，當時，求點的坐標；

（3）點為軸上的動點，以為直角頂點的與相似，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3） 1或3或4

【解析】

（1）先求出OA的解析式，然后根據點M的橫坐標求出縱坐標，即可求出平移的距離，然后利用二次函數圖象的平移規律即可得到拋物線的解析式；

（2）分兩種情況，點P在A點上方和點P在A點下方，分別畫出相應的圖象，然后分情況討論即可求出m的值，進一步即可求出P點的坐標；

（3）利用相似三角形的性質，分和兩種情況，然后利用相似三角形的性質進行討論即可得出答案．

（1）設直線OA的解析式為，

將代入解析式中得 ，解得 ，

∴直線OA解析式為 ．

∵拋物線的頂點在OA上，且橫坐標為，

∴，

∴ ．

∵拋物線，

∴拋物線的解析式為；

（2）∵P點的橫坐標為2，

∴縱坐標為，

．

若點P在A點上方，如圖

，

，

∴ ，

解得（舍去）或 ，

當時，，

∴點P的坐標為 ；

若點P在A點下方，如圖，作線段OD交AB于點D，使，過點D作OA的垂線交OA的延長線于點N，交OP的延長線于點，

點D的坐標即點P在點A上方時點P的坐標，所以．

∵直線OA解析式為，，

∴設直線的解析式為 ，

將點D的坐標代入得， ，

∴直線的解析式為．

設的坐標為，則 且，

解得（即點D的坐標），

∴．

設直線的解析式為，

將代入解析式中得 ，解得，

∴直線解析式為．

當時，，

∴點P的坐標為 ，

綜上所述，點P的坐標為或；

（3）如圖，若 ，則有 ，

∴ ．

過點M作 交AB于點G，過點Q作交AB于點H，

∵，

．

，

，

，

，

即，

解得或 ；

同理，若 ，解得或,

當時，拋物線與拋物線重合，故舍去，

綜上所述，m的值為1或3或4．