Question

（2012•蘭州）如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若把△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）在（2）、（3）的條件下，若點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合），過(guò)點(diǎn)M作∥BD交x軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=

2

3

x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，4），以及頂點(diǎn)在直線x=

5

2

上，得出b，c即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出x=5或2時(shí)，y的值即可．
（3）首先設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當(dāng)x=

5

2

時(shí)，求出y即可；
（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出

OM

OB

=

ON

OD

，得到ON=

1

2

t，進(jìn)而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=

2

3

x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，4）
∴c=4，
∵頂點(diǎn)在直線x=

5

2

上，
∴-

b

2a

=-

b

2× 2 3

=

5

2

，
∴b=-

10

3

；
∴所求函數(shù)關(guān)系式為y=

2

3

x2-

10

3

x+4；

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5，4）、（2，0），
當(dāng)x=5時(shí)，y=

2

3

×52-

10

3

×5+ 4=4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2

3

×22-

10

3

×2+ 4=0，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；

（3）設(shè)CD與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，
設(shè)直線CD對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
則

5k+b=4 2k+b=0

，
解得：

k= 4 3 b=- 8 3

，
∴y=

4

3

x-

8

3

，
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=

4

3

×

5

2

-

8

3

 =

2

3

，
∴P（

5

2

，

2

3

），

（4）∵M(jìn)N∥BD，
∴△OMN∽△OBD，
∴

OM

OB

=

ON

OD

即

t

4

=

ON

2

得ON=

1

2

t，
設(shè)對(duì)稱軸交x于點(diǎn)F，
則S梯形PFOM=

1

2

（PF+OM）•OF=

1

2

（

2

3

+t）×

5

2

=

5

4

t+

5

6

，
∵S△MON=

1

2

OM•ON=

1

2

t•

1

2

t=

1

4

t2，
S_△PNF=

1

2

×NF•PF=

1

2

×（

5

2

-

1

2

t）×

2

3

=-

1

6

t+

5

6

，
S=

5

4

t+

5

6

-

1

4

t2 -（-

1

6

t+

5

6

），
=-

1

4

t2+

17

12

t（0＜t＜4），
a=-

1

4

＜0∴拋物線開(kāi)口向下，S存在最大值．
由S_△PMN=-

1

4

t²+

17

12

t=-

1

4

（t-

17

6

）²+

289

144

，
∴當(dāng)t=

17

6

時(shí)，S取最大值是

289

144

，
此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，

17

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及菱形性質(zhì)和待定系數(shù)法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數(shù)的最值求出是解題關(guān)鍵．