Question

【題目】已知，如圖，拋物線y=﹣x2+ax+b與x軸從左至右交于A、B兩點，與y軸正半軸交于點C．設∠OCB=α，∠OCA=β，且tanα﹣tanβ=2，OC2=OAOB．

（1）△ABC是否為直角三角形？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；

（2）求拋物線的解析式；

（3）若拋物線的頂點為P，求四邊形ABPC的面積．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+1；（3）四邊形ABPC的面積為．

【解析】試題分析：（1）利用已知得出Rt△BOC∽Rt△COA，進而得出∠OCA+∠OCB=90°，即可得出答案；

（2）由題意可得，方程﹣x2+ax+b=0有兩個不同的實數根，進而得出C點坐標，可得出b的值，再利用tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得出a的值進而得出答案；

（3）作PF⊥x軸于點F，根據S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC，進而得出答案．

試題解析：（1）△ABC是直角三角形．

理由如下：

∵OC2=OAOB，∴=，

又∵∠BOC=∠COA=90°，∴Rt△BOC∽Rt△COA，∴∠OCB=∠OAC，

又∵∠OCA+∠OAC=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，

即∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形；

（2）∵拋物線與x軸交于A、B兩點，

∴方程﹣x2+ax+b=0有兩個不同的實數根，

設這兩個根分別為x1、x2，且x1＜x2，顯然，x1＜0，x2＞0，

得A、B兩點的坐標分別為A（x1，0）、B（x2，0），

由根與系數的關系，有x1+x2=a，x1x2=﹣b，

對于拋物線y=﹣x2+ax+b，當x=0時，y=b，∴C點的坐標為C（0，b）；

由已知條件OC2=OAOB，得b2=（﹣x1）x2，即b2=﹣x1x2，∴b2=b，

∵點C在y軸的正半軸上，∴b＞0，從而得b=1，

∵tanα=，tanβ=，由tanα﹣tanβ=2，得﹣=2，即OB﹣OA=2OC，

得x2﹣（﹣x1）=2b，x2+x1=2b，即a=2b，∴a=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+1；

（3）由拋物線的解析式y=﹣x2+2x+1，配方得：y=﹣（x﹣1）2+2，

∴其頂點P的坐標為P（1，2）．

解方程﹣x2+2x+1=0，得x1=1﹣，x2=1+，∴A（1﹣，0），B（1+，0），

解法一：設過P、C兩點的直線與x軸交于點D，

直線的解析式為：y=kx+1，把P（1，2）坐標代入，得k=1，

∴直線PC：y=x+1，當y=0時，x=﹣1，即點D的坐標為D（﹣1，0）．

∵﹣1＜1﹣，∴點D在點A的左邊，

作PF⊥x軸于點F，

∴S四邊形ABPC=S△PDB﹣S△CDA=DBPF﹣DAOC

= [（1+）+1]×2﹣ [（1﹣）+1]×1

=，

即四邊形ABPC的面積為．

解法二：過點P作PF⊥x軸于點F，

則∴S四邊形ABPC=S△OAC+S梯形COFP+S△PFB

=OAOC+（OC+PF）OF+FBPF

=（﹣1）×1+（1+2）×1+（1+﹣1）×2

=；

即四邊形ABPC的面積為．