Question

【題目】如圖，直線y=﹣x﹣4與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，其中A，B兩點的橫坐標分別為﹣1和﹣4，且拋物線過原點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在坐標軸上是否存在點C，使△ABC為等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）若點P是線段AB上不與A，B重合的動點，過點P作PE∥OA，與拋物線第三象限的部分交于一點E，過點E作EG⊥x軸于點G，交AB于點F，若S△BGF=3S△EFP ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A，B兩點在直線y=﹣x﹣4上，且橫坐標分別為﹣1、﹣4，

∴A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），

∵拋物線過原點，

∴c=0，

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2+4x

（2）

解：∵△ABC為等腰三角形，

∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三種情況，

①當AB=AC時，當點C在y軸上，設C（0，y），

則AB= =3 ，AC= ，

∴3 = ，解得y=﹣3﹣ 或y=﹣3+ ，

∴C（0，﹣3﹣ ）或（0，﹣3﹣ ）；

當點C在x軸上時，設C（x，0），則AC= ，

∴ =3 ，解得x=﹣4或x=2，當x=﹣4時，B、C重合，舍去，

∴C（2，0）；

②當AB=BC時，當點C在x軸上，設C（x，0），

則有AB=3 ，BC=|x+4|，

∴|x+4|=3 ，解得x=﹣4+3 或x=﹣4﹣3 ，

∴C（﹣4+3 ，0）或（﹣4﹣3 ，0）；

當點C在y軸上，設C（0，y），則BC= ，

∴ =3 ，解得y= 或y=﹣ ，

∴C（0， ）或（0，﹣ ）；

③當CB=CA時，則點C在線段AB的垂直平分線與y軸的交點處，

∵A（﹣1，﹣3），B（﹣4，0），

∴線段AB的中點坐標為（﹣ ，﹣ ），

設線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+d，

∴﹣ =﹣ +d，解得d=1，

∴線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+1，

令x=0可得y=1，令y=0可求得x=﹣1，

∴C（﹣1，0）或（0，1）；

綜上可知存在滿足條件的點C，其坐標為（0，﹣3﹣ ）或（0，﹣3﹣ ）或（﹣4+3 ，0）或（﹣4﹣3 ，0）或（﹣1，0）或（0，1）或（2，0）或（0， ）或（0，﹣ ）

（3）

解：過點P作PQ⊥EF，交EF于點Q，過點A作AD⊥x軸于點D，

∵PE∥OA，GE∥AD，

∴∠OAD=∠PEG，∠PQE=∠ODA=90°，

∴△PQE∽△ODA，

∴ =3，即EQ=3PQ，

∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣4，

∴∠ABO=45°=∠PFQ，

∴PQ=FQ，BG=GF，

∴EF=4PQ，

∴GE=GF+4PQ，

∵S△BGF=3S△EFP，

∴ GF2=3× 4PQ2，

∴GF=2 PQ，

∴ = =

【解析】（1）由直線解析式可分別求得A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）當AB=AC時，點C在y軸上，可表示出AC的長度，可求得其坐標；當AB=BC時，可知點C在x軸上，可表示出BC的長度，可求得其坐標；當AC=BC時點C在線段AB的垂直平分線與坐標軸的交點處，可求得線段AB的中點的坐標，可求得垂直平分線的解析式，則可求得C點坐標；（3）過點P作PQ⊥EF，交EF于點Q，過點A作AD⊥x軸于點D，可證明△PQE∽△ODA，可求得EQ=3PQ，再結合F點在直線AB上，可求得FQ=PQ，則可求得EF=4PQ，利用三角形的面積的關系可求得GF與PQ的關系，則可求得比值．