Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由．
（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF

（2）解：能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又AE=DF，

∴四邊形AEFD為平行四邊形．

∵AB=BCtan30°=5 =5，

∴AC=2AB=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD為菱形，則需AE=AD，

即t=10﹣2t，t= ．

即當t= 時，四邊形AEFD為菱形

（3）解：①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形．

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE．

即10﹣2t=2t，t= ．

②∠DEF=90°時，由（2）四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°﹣∠C=60°，

∴AD=AEcos60°．

即10﹣2t= t，t=4．

③∠EFD=90°時，此種情況不存在．

綜上所述，當t= 秒或4秒時，△DEF為直角三角形

【解析】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知條件求證；（2）求得四邊形AEFD為平行四邊形，若使AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得；（3）①∠EDF=90°時，四邊形EBFD為矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．②∠DEF=90°時，由（2）知EF∥AD，則得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AEcos60°列式得．③∠EFD=90°時，此種情況不存在．
【考點精析】關于本題考查的含30度角的直角三角形和菱形的性質，需要了解在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能得出正確答案．