Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線DE，交AC于點E，AC的反向延長線交⊙O于點F．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半徑為10，求AF的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC．

∵DE是⊙O的切線，OD是半徑，

∴DE⊥OD，

∴DE⊥AC；

（2）解：如圖，過點O作OH⊥AF于點H，則∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，

∴四邊形ODEH是矩形，

∴OD=EH，OH=DE．

設AH=x．

∵DE+AE=8，OD=10，

∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．

在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，

解得x1=8，x2=﹣6（不合題意，舍去）．

∴AH=8．

∵OH⊥AF，

∴AH=FH= AF，

∴AF=2AH=2×8=16．

【解析】（1）欲證明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；（2）如圖，過點O作OH⊥AF于點H，構建矩形ODEH，設AH=x．則由矩形的性質推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102 ， 通過解方程得到AH的長度，結合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質和勾股定理的概念，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．