Question

【題目】兩個反比例函數y=（k＞1）和y=在第一象限內的圖象如圖所示，點P在y=的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y=的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y=的圖象于點B，BE⊥x軸于點E，當點P在y=圖象上運動時，以下結論：①BA與DC始終平行；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積不會發生變化：④△OBA的面積等于四邊形ACEB的面積．其中一定正確的是_____．（填序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

設出點P的坐標，由此可得出A、C、B、D點的坐標，由點的坐標即可表示出各線段的長度，根據線段間的比例關系即可得出BA∥DC，即①成立；找出當PA=PB時，m的值，由此發現②不一定成立；③根據反比例函數系數k的幾何意義可得出三角形OBD、OAC以及矩形OCPD的面積，分割圖形即可得出S四邊形PAOB=k-1，即③成立；根據各邊長度計算出S梯形BECA，結合三角形的面積公式求出S△OBA，發現二者相等，由此得知④成立．綜上即可得出結論．

解：如圖，

①正確．∵A、B在y=上，

∴S△AOC=S△BOE，

∴OCAC=OEBE，

∴OCAC=OEBE，

∵OC=PD，BE=PC，

∴PDAC=DBPC，

∴，

∴AB∥CD．故此選項正確．

②錯誤，不一定，只有當四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB；

③正確，由于矩形OCPD、△ODB、△OCA的面積為定值，則四邊形PAOB的面積不會發生變化；故此選項正確．

④正確．∵△ODB的面積=△OCA的面積=，

∴△ODB與△OCA的面積相等，同理可得：S△ODB=S△OBE，

∵△OBA的面積=矩形OCPD的面積﹣S△ODB﹣S△BAP﹣S△AOC，四邊形ACEB的面積=矩形OCPD的面積﹣S△ODB﹣S△BAP﹣S△OBE

∴△OBA的面積=四邊形ACEB的面積，故此選項正確，

故一定正確的是①③④．

故答案為：①③④．