Question

如圖，已知，A為∠POQ的邊OQ上的一點，OA=2，以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且∠MAN=∠POQ=60°，當∠MAN以點A為旋轉中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉（∠MAN保持不變）時，M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平行移動，設OM=x，ON=y（y＞x≥0）．
（1）求證：AN²=ON•MN；
（2）當∠MAN旋轉30°（即∠OAM=30°）時，求點N移動的距離；
（3）求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據∠MAN=∠POQ=60°，公共角∠MNA=∠ONA，判斷△OAN∽△ANM，利用相似比證題；
（2）當AM邊與AO重合的位置時，△OAN是等邊三角形，求此時的ON，當∠MAN旋轉30°時，△OAN是直角三角形，解直角三角形求ON，作差即可；
（3）過A作AD⊥OP，垂足為D，解Rt△OAD求AD，OD，在Rt△ADN中，利用勾股定理求x、y的函數關系式．

解答：解：（1）因∠MAN=∠POQ=60°，∠MNA=∠ONA，
所以△OAN∽△ANM，
得

AN

MN

=

ON

AN

，
AN²=ON•MN；（3分）

（2）由∠MAN=∠POQ=60°，當∠MAN以點A為旋轉中心，AM邊從與AO重合的位置時，△OAN是等邊三角形，
ON=OA=2．         （5分）
當∠MAN旋轉30°時，△OAN是直角三角形，
OA=2，∠AON=60°，
得ON=4，
故點N移動的距離為2；（7分）

（3）過A作AD⊥OP，垂足為D，在Rt△OAD中，
OD=OA•cos60°=2×

1

2

=1，
AD=OA•sin60°=

3

，
所以DN=ON-OD=y-1，
在Rt△ADN中，AN2=AD2+DN2=(

3

)2+(y-1)2=y2-2y+4．（9分）
又由（1）得AN²=ON•MN，即y²-2y+4=y（y-x），
整理得y=

4

2-x

，（10分）
因y＞0，
故2-x＞0，即x＜2．
又因x≥0，
所以x的取值范圍是0≤x＜2．              （11分）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形，勾股定理的運用．關鍵是根據圖形旋轉的特點，畫出特殊圖形，充分運用相似三角形及勾股定理求解．