Question

如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過△ABC的內切圓圓心O，且點E在半圓弧上．若正方形DEFG的面積為100，且△ABC的內切圓半徑r=4，則半圓的直徑AB=______．

Answer 1

∵正方形DEFG的面積為100，
∴正方形DEFG邊長為10．
連接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形OICJ是正方形，且邊長是4，
設BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）²+（y+4）²=（x+y）²①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED²=AD•BD，即10²=x•y②．
解①、②得x+y=21，即半圓的直徑AB=21．
故答案為：21．