Question

我們容易發現：反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形，你可以利用這一結論解決問題。如圖，在同一直角坐標系中，正比例函數的圖象可以看作是將x軸所在的直線繞著原點O逆時針旋轉度后的圖形。它與反比例函數的圖象分別交于第一、三象限的點B、D，已知點A（-m，0）、C（m，0）。

（1）判斷并填寫，不論取何值，四邊形ABCD的形狀一定是______；
（2）①當點B坐標為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p、和m的值；
②觀察猜想：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有幾個?（不必說理）
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形?若能，直接寫出B點的坐標；若不能，說明理由。

Answer 1

（1）平行四邊形；（2）P＝，＝30°，m=2；（3）2個；（4）不能

試題分析：（1）由于反比例函數的圖象是一個中心對稱圖形，點B、D是正比例函數與反比例函數圖象的交點，所以點B與點D關于點O成中心對稱，則OB=OD，又OA=OC，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）①把點B（p，1）代入，即可求出p的值；過B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據正切函數的定義求出tanα的值，得出α的度數；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的長度，然后根據進行的對角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；②當m=2時，設B（x，），則x＞0，由OB=2，得出，解此方程，得滿足條件的x的值有兩個，故能使四邊形ABCD為矩形的點B共有兩個；
（3）假設四邊形ABCD為菱形，根據菱形的對角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應在y軸上，這與“點B、D分別在第一、三象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形．
（1）平行四邊形；
（2）∵矩形對角線相等且互相平分
∴OC＝OB，又B（P，1）在上，則P＝
∴B（，1），則OB＝2，
∴OC＝2，則m=2，∠BOC＝30°，即=30°
（3）當m=2時，點B共有2個；
（4）四邊形ABCD不能是菱形。理由如下：
∵反比例圖象與y軸永無交點，即BD不可能在y軸上。
∴BD不垂直于AC
即四邊形ABCD的對角線一定不垂直
∴四邊形ABCD不能為菱形
點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要特別注意.