Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5cm，AB=12cm，CD=6cm，點Q從C開始沿CD邊向D移動，速度是每秒1厘米，點P從A開始沿AB向B移動，速度是點Q速度的a倍，如果點P，Q分別從A，C同時出發，當其中一點到達終點時運動停止．設運動時間為t秒．已知當t=時，四邊形APQD是平行四邊形．

（1）求a的值；
（2）線段PQ是否可能平分對角線BD？若能，求t的值，若不能，請說明理由；
（3）若在某一時刻點P恰好在DQ的垂直平分線上，求此時t的值．

Answer 1

（1）a=3
（2）t=3
（3）

解：（1）∵四邊形APQD是平行四邊形
∴6-=，即：                …………（2分）
（2）若線段PQ平分對角線BD，即DO=BO
則△DOQ≌△BOP        …………（4分）
∴DQ=BP
即：6-t="12-3t " 解得t="3   " …………（5分）
（3）分別過點C、D作CN⊥AB，DM⊥AB，交AB于點M、N

可得：四邊形DNPM是矩形，△DAM≌△CBN
∴AM=="3                  " …………（6分）
∵點P恰好在DQ的垂直平分線EP上
∴PD=PQ，DM=DQ，四邊形DNPM是矩形
∴DM=NP
即：，解得：  …………（8分）