Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，）．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）如圖1，設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標．
（3）如圖2，若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）滿足條件的點P的坐標有：、、、；
（3）存在點E能使S有最大值，最大值為3，此時點E的坐標為（1，0）．

試題分析：本題考查了二次函數的綜合運用.其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法，在動點問題時要注意分情況討論.
(1)已知拋物線的頂點坐標可設拋物線的解析式為：，將點C（0，4）代入即可求解.
(2)求滿足使△CDP為等腰三角形的動點P的坐標，一般地，當一等腰三角形的兩腰不明確時，應分類討論如下：如圖①當PC=PD時：過點C作CE⊥DP交于點E，設CP=DP=a,由勾股定理易求，所以點；如圖②當DC=DP時：即以點D為圓心，以CD的長為半徑作圓，可以發現在對稱軸上有兩個符合條件的點，因為CD=，故DP=.所以點P的坐標為，；如圖③當CD=CP時：點C在DP的垂直平分線上，過點C作CE⊥DP交于點E，此時易得DE=PE=4，所以點P的坐標為.
（3）先由求得拋物線與坐標軸的交點坐標，進而求得直線AC的解析式為.由于EF∥AC，可由平移設出直線EF的解析式為，此時可求得點E的坐標為．進而列方程組求出點F的坐標，最后利用得出一個關于b的二次函數，利用二次函數性質可求出是否存在滿足條件的點E.

試題解析：
（1）解∵拋物線的頂點為
∴可設拋物線的函數關系式為
∵拋物線與y軸交于點C（0，4），
∴    解得
∴所求拋物線的函數關系式為．
（2）解：滿足條件的點P的坐標有：、、、
（3）解：存在點E能使S有最大值，最大值為3，此時點E的坐標為（1，0）．
如圖，令
解得x₁＝－2，x₂＝4．
∴拋物線與x軸的交點為A(-2,0) ，B (4,0) ．
∵A（-2,0），B（4,0），C（0,4），
∴直線AC的解析式為，
直線BC的解析式為．
∵EF∥AC，
∴可設直線EF的解析式為，（-2<x<4）
令，解得，
∴點E的坐標為．
∴BE=．
解方程組 得，
∴點F的坐標為．

整理得
∴當時，S有最大值3，此時點E的坐標為（1，0）．