Question

【題目】如圖，在中，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作，AF與CE的延長線相交于點F，連接BF．

（1）求證：四邊形AFBD是平行四邊形；

（2）①若四邊形AFBD是矩形，則必須滿足條件_________；

②若四邊形AFBD是菱形，則必須滿足條件_________.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AB=AC；②∠BAC=90°

【解析】

（1）先證明△AEF≌△DEC，得出AF=DC，再根據有一組對邊平行且相等證明四邊形AFBD是平行四邊形；

（2））①當△ABC滿足條件AB=AC時，可得出∠BDA=90°，則四邊形AFBD是矩形；②當∠BAC=90°時，可得出AD=BD,則四邊形AFBD是菱形。

解：（1）∵E是AD中點

∴AE=DE，
∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，
∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC

∴AF=DC，
∵D是BC中點，

∴BD=DC，

∴AF=BD，
又∵AF∥BC，即AF∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形；

（2）①當△ABC滿足條件AB=AC時，四邊形AFBD是矩形；

理由是：

∵AB=AC，D是BC中點，

∴AD⊥BC,

∴ ∠BDA=90°

∵四邊形AFBD是平行四邊形,

∴四邊形AFBD是矩形.

故答案為：AB=AC

②當∠BAC=90°時，四邊形AFBD是菱形。

理由是：

∵∠BAC=90°，D是BC中點，

∴AD=BC=BD,

∵四邊形AFBD是平行四邊形,

∴四邊形AFBD是菱形。

故答案為：∠BAC=90°