Question

【題目】如圖，⊙O為正方形ABCD的外接圓，E為弧BC上一點，AF⊥DE于F，連OF、OD．

（1）求證：AF=EF；

（2）若，求sin∠DOF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）如圖，過B作BG⊥AF于G，連接BE、OB，只要證明四邊形BGEF是矩形，△ABG≌△DAF即可解決問題；

（2）作OH⊥BE于H，連接AO，GO．首先證明OH垂直平分線段FG，再證明∠DOF=∠DAF，△FOG是等腰直角三角形即可解決問題；

試題解析：證明：（1）如圖，過B作BG⊥AF于G，連接BE、OB．∵AF⊥DE，∴∠AGB=∠AFD=90°，∴∠BAF+∠ABG=90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴BD為⊙O的直徑，AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BED=90°，∴∠ABG=∠DAF，∴△ABG≌△DAF，∴BG=AF．∵∠BED=∠BGF=∠AFE=90°，∴四邊形GBEF是矩形，∴EF=BG，∴AF=EF；

（2）作OH⊥BE于H，連接AO，GO．

∵OH⊥BE，∴BH=HE，∴OH垂直平分線段BE．∵四邊形GBEF是矩形，∴BE=GF，BE∥GF，∴OH垂直平分線段FG，∴OG=OF．∵∠AOD=∠AFD=90°，∴A、D、F、O四點共圓，∴∠DOF=∠DAF，∠OFG=∠ADO=45°，∴△FOG是等腰直角三角形，∴FG=OF．∵EF=BG=AF=2OF，∴AF=2FG，AG=FG=DF，設DF=a，則AF=2a，AD=a，∴sin∠DOF=sin∠DAF==．