Question

【題目】如圖，在中，以為直徑的⊙交于點，過點作于點，且．

（）判斷與⊙的位置關系并說明理由；

（）若，，求⊙的半徑．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切，詳見解析；（2）5

【解析】

(1) 根據直徑所對的圓心角是直角，再結合所給條件∠BDE＝∠A，可以推導出∠ODE ＝ 90°，說明相切的位置關系。

(2)根據直徑所對的圓心角是直角，并且在△BDE中，由DE⊥BC,有∠BDE＋∠DBE ＝ 90°可以推導出∠DAB＝∠C, 可判定△ABC是等腰三角形，再根據BD⊥AC可知D是AC的中點，從而得出AD的長度，再在Rt△ADB中計算出直徑AB的長，從而算出半徑。

（1）連接OD，在⊙O中，因為AB是直徑，所以∠ADB＝90°，即∠ODA＋∠ODB＝90°，由OA＝OD，故∠A＝∠ODA，又因為∠BDE＝∠A，所以∠ODA＝∠BDE，故∠ODA＋∠ODB＝∠BDE＋∠ODB＝∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD過圓心，D是圓上一點，故DE是⊙O切線上的一段，因此位置關系是直線DE與⊙O相切；

（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，故∠A＋∠ABD＝90°，故BD⊥AC，由∠BDE＝∠A，則∠BDE＋∠ABD＝90°，因為DE⊥BC，所以∠DEB＝90°，故在△BDE中，有∠BDE＋∠DBE＝90°，則∠ABD＝∠DBE，又因為BD⊥AC，即∠ADB＝∠CDB＝90°，所以∠DAB＝∠C，故△ABC是等腰三角形，BD是等腰△ABC底邊BC上的高，則D是AC的中點，故AD＝AC＝×16＝8，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，可解得BD＝6，由勾股定理可得AB＝＝＝10，AB為直徑，所以⊙O的半徑是5.