Question

（2013•惠山區一模）已知二次函數y=ax²+bx+3的圖象經過（1，

21

4

），（2，

11

2

）兩點，與x軸的兩個交點的右邊一個交點為點A，與y軸交于點B．
（1）求此二次函數的解析式并畫出這個二次函數的圖象；
（2）求線段AB的中垂線的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）將（1，

21

4

），（2，

11

2

）代入y=ax²+bx+3，利用待定系數法求得二次函數的解析式，再根據二次函數的性質即可畫出這個二次函數的圖象；
（2）根據二次函數的解析式為y=-x²+

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4

x+3，求出A、B兩點的坐標．連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于M，交OA于N，則點M為AB的中點，根據中點坐標公式得到M點坐標為（2，

3

2

）．設N點坐標為（x，0），則ON=x，根據線段垂直平分線的性質得出AN=BN=4-x，然后在直角△OBN中，由勾股定理得出OB²+ON²=BN²，求出x的值，得到N點坐標為（

7

8

，0）．設直線MN的解析式為y=mx+n，將M，N兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求解．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+3的圖象經過（1，

21

4

），（2，

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2

）兩點，
∴將兩點坐標代入二次函數解析式，
得：

a+b+3= 21 4 4a+2b+3= 11 2

，
解得：

a=-1 b= 13 4

，
∴此二次函數的解析式為y=-x²+

13

4

x+3．
圖象如右所示：

（2）解方程-x²+

13

4

x+3=0，
即4x²-13x-12=0，
解得x₁=4，x₂=-

3

4

．
∵拋物線y=-x²+

13

4

x+3與x軸的兩個交點的右邊一個交點為點A，與y軸交于點B，
∴A點坐標為（4，0），B點坐標為（0，3）．
連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于M，交OA于N，連接BN，則點M為AB的中點，其坐標為（2，

3

2

）．
設N點坐標為（x，0），則ON=x，AN=BN=4-x，
在△OBN中，∵∠BON=90°，OB=3，ON=x，BN=4-x，
∴OB²+ON²=BN²，即3²+x²=（4-x）²，
解得x=

7

8

，
∴N點坐標為（

7

8

，0）．
設直線MN的解析式為y=mx+n，
將M（2，

3

2

），N（

7

8

，0）代入，
得

2m+n= 3 2 7 8 m+n=0

，
解得

m= 4 3 n=- 7 6

，
∴直線MN的解析式為y=

4

3

x-

7

6

．
即線段AB的中垂線的函數解析式為y=

4

3

x-

7

6

．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的圖象與性質，二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，中點坐標公式，線段垂直平分線的性質，綜合性較強，難度適中．