Question

【題目】如圖，四邊形OBCD中的三個頂點在⊙O上，點A是優弧BD上的一個動點（不與點B、D重合）．

（1）當圓心O在∠BAD內部，∠ABO+∠ADO=60°時，∠BOD= ；

（2）當圓心O在∠BAD內部，四邊形OBCD為平行四邊形時，求∠A的度數；

（3）當圓心O在∠BAD外部，四邊形OBCD為平行四邊形時，請直接寫出∠ABO與∠ADO的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）120 °；（2）60°；（3）60°．

【解析】

試題分析：（1）連接OA，如圖1，根據等腰三角形的性質得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根據圓周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；（2）根據平行四邊形的性質得∠BOD=∠BCD，再根據圓周角定理得∠BOD=2∠A，則∠BCD=2∠A，然后根據圓內接四邊形的性質由∠BCD+∠A=180°，易計算出∠A的度數；（3）討論：當∠OAB比∠ODA小時，如圖2，與（1）一樣∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，

所以∠ADO﹣∠ABO=60°；當∠OAB比∠ODA大時，用樣方法得到∠ABO﹣∠ADO=60°．

試題解析：（1）連接OA，如圖1，

∵OA=OB，OA=OD， ∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO， ∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，即∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°；

（2）∵四邊形OBCD為平行四邊形， ∴∠BOD=∠BCD， ∵∠BOD=2∠A， ∴∠BCD=2∠A，

∵∠BCD+∠A=180°，即3∠A=180°， ∴∠A=60°；

（3）當∠OAB比∠ODA小時，如圖2，

∵OA=OB，OA=OD， ∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO， ∴∠OAD﹣∠OAB=∠ADO﹣∠ABO=∠BAD，

由（2）得∠BAD=60°， ∴∠ADO﹣∠ABO=60°； 當∠OAB比∠ODA大時，

同理可得∠ABO﹣∠ADO=60°， 綜上所述，|∠ABO﹣∠ADO|=60°．