Question

如圖1，A（-2，0），B（0，4），以B點為直角頂點在第二象限作等腰直角△ABC．

（1）求C點的坐標；
（2）在坐標平面內是否存在一點P，使△PAB與△ABC全等？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點E為y軸正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角△AEM，過M作MN⊥x軸于N，求OE-MN的值．

Answer 1

分析：（1））作CE⊥y軸于E，證△CEB≌△BOA，推出CE=OB=4，BE=AO=2，即可得出答案；
（2）分為四種情況，畫出符合條件的圖形，構造直角三角形，證三角形全等，即可得出答案；
（3）作MF⊥y軸于F，證△EFM≌△AOE，求出EF，即可得出答案．

解答：解：（1）作CE⊥y軸于E，如圖1，
∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵∠CBA=90°，
∴∠CEB=∠AOB=∠CBA=90°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，∠CBE+∠ABO=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中

∠ECB=∠ABO ∠CEB=∠AOB BC=AB

∴△CBE≌△BAO，
∴CE=BO=4，BE=AO=2，
即OE=2+4=6，
∴C（-4，6）．
（2）存在一點P，使△PAB與△ABC全等，
分為四種情況：①如圖2，當P和C重合時，△PAB和△ABC全等，即此時P的坐標是（-4，6）；
②如圖3，過P作PE⊥x軸于E，
則∠PAB=∠AOB=∠PEA=90°，
∴∠EPA+∠PAE=90°，∠PAE+∠BAO=90°，
∴∠EPA=∠BAO，
在△PEA和△AOB中

∠EPA=∠BAO ∠PEA=∠AOB PA=AB

∴△PEA≌△AOB，
∴PE=AO=2，EA=BO=4，
∴OE=2+4=6，
即P的坐標是（-6，2）；
③
如圖4，過C作CM⊥x軸于M，過P作PE⊥x軸于E，
則∠CMA=∠PEA=90°，
∵△CBA≌△PBA，
∴∠PAB=∠CAB=45°，AC=AP，
∴∠CAP=90°，
∴∠MCA+∠CAM=90°，∠CAM+∠PAE=90°，
∴∠MCA=∠PAE，
在△CMA和△AEP中

∠MCA=∠PAE ∠CMA=∠PEA AC=AP

∴△CMA≌△AEP，
∴PE=AM，CM=AE，
∵C（-4，6），A（-2，0），
∴PE=4-2=2，OE=AE-A0=6-2=4，
即P的坐標是（4，2）；
④
如圖5，過P作PE⊥x軸于E，
∵△CBA≌△PAB，
∴AB=AP，∠CBA=∠BAP=90°，
則∠AEP=∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠PAE=90°，∠PAE+∠APE=90°，
∴∠BAO=∠APE，
在△AOB和△PEA中

∠BAO=∠APE ∠AOB=∠PEA AB=AP

∴△AOB≌△PEA，
∴PE=AO=2，AE=OB=4，
∴0E=AE-AO=4-2=2，
即P的坐標是（2，-2），
綜合上述：符合條件的P的坐標是（-6，2）或（2，-2）或（4，2）或（-4，6）．
（3）如圖6，作MF⊥y軸于F，
則∠AEM=∠EFM=∠AOE=90°，
∵∠AEO+∠MEF=90°，∠MEF+∠EMF=90°，
∴∠AEO=∠EMF，
在△AOE和△EMF中

∠AOE=∠EFM ∠AEO=∠EMF AE=EM

∴△AEO≌△EMF，
∴EF=AO=2，MF=OE，
∵MN⊥x軸，MF⊥y軸，
∴∠MFO=∠FON=∠MNO=90°，
∴四邊形FONM是矩形，
∴MN=OF，
∴OE-MN=OE-OF=EF=OA=2．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形內角和定理，等腰三角形性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力，用了分類討論思想．