Question

(本題滿分11分)

如圖（1），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上一點，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG．

1.（1）連接GD，求證：△ADG≌△ABE；(2分)

2.（2）連接FC，觀察并猜測∠FCN的度數，并說明理由；(3分)

3.（3）如圖（2），將圖（1）中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b為常數），E是線段BC上一動點（不含端點B、C），以AE為邊在直線MN的上方作矩形AEFG，使頂點G恰好落在射線CD上．判斷當點E由B向C運動時，∠FCN的大小是否總保持不變，若∠FCN的大小不變，請用含a、b的代數式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小發生改變，請舉例說明．(4分)

 

Answer 1

【答案】

 

1.（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形

    ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º

∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD

∴∠BAE＝∠DAG

∴△ BAE≌△DAG        …………2分

 

2.（2）∠FCN＝45º          …………1分

理由是：作FH⊥MN于H

       ∵∠AEF＝∠ABE＝90º

    ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º

    ∴∠FEH＝∠BAE

    又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º

∴△EFH≌△ABE                   …………2分

∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH

∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º      …………1分

3.（3）當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，…………1分

理由是：作FH⊥MN于H

由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º

結合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG

又∵G在射線CD上

∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º

   ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE  ……2分

      ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，

∴＝＝

∴在Rt△FEH中，tan∠FCN＝＝＝   …………2分

∴當點E由B向C運動時，∠FCN的大小總保持不變，tan∠FCN＝

 

【解析】略