Question

【題目】（概念認知）：

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系xOy，對兩點A(，)和B(，)，用以下方式定義兩點間距離：d(A，B)＝＋．

（數(shù)學理解）：

（1）①已知點A(﹣2，1)，則d(O，A)＝ ；②函數(shù)(0≤x≤2)的圖像如圖①所示，B是圖像上一點，d(O，B)＝3，則點B的坐標是 ．

（2）函數(shù)(x＞0)的圖像如圖②所示，求證：該函數(shù)的圖像上不存在點C，使d(O，C)＝3．

（3）函數(shù)(x≥0)的圖像如圖③所示，D是圖像上一點，求d(O，D)的最小值及對應(yīng)的點D的坐標．

（問題解決）：

（4）某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以M為起點，先沿MN方向到某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？（要求：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担�畫出示意圖并簡要說明理由）

Answer 1

【答案】（1）【數(shù)學理解】：① 3， ② (1，2) ；（2）見解析；（3）有最小值3，此時點的坐標是（2，1）；【問題解決】：（4）先沿方向修建到處，再沿方向修建到處，見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)定義可求出d（O，A）＝|0＋2|＋|01|＝2＋1＝3；②由兩點間距離：d（A，B）＝|x1x2|＋|y1y2|及點B是函數(shù)y＝2x＋4的圖象上的一點，可得出方程組，解方程組即可求出點B的坐標；

（2）由條件知x＞0，根據(jù)題意得，整理得x23x＋4＝0，由△＜0可證得該函數(shù)的圖象上不存在點C，使d（O，C）＝3．

（3）根據(jù)條件可得|x|＋|x25x＋7|，去絕對值后由二次函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值；

（4）以M為原點，MN所在的直線為x軸建立平面直角坐標系xOy，將函數(shù)y＝x的圖象沿y軸正方向平移，直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止，設(shè)交點為E，過點E作EH⊥MN，垂足為H，修建方案是：先沿MN方向修建到H處，再沿HE方向修建到E處，可由d（O，P）≥d（O，E）證明結(jié)論即可．

解：（1）①由題意得：d（O，A）＝|0＋2|＋|01|＝2＋1＝3；

②設(shè)B（x，y），由定義兩點間的距離可得：|0x|＋|0y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x＋y＝3，

∴，

解得： x＝1，y＝2，

∴B（1，2），

（2）假設(shè)函數(shù)的圖像上存在點，使.

根據(jù)題意，得.

因為，所以.

所以.

方程兩邊乘，得.

整理，得.

因為，

所以方程無實數(shù)根.

所以函數(shù)的圖像上不存在點，使.

（3）設(shè).

根據(jù)題意，得.

因為，又，

所以.

所以當時，有最小值3，此時點的坐標是.

（4）如圖，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系.將函數(shù)的圖像沿軸正方向平移.直到與景觀湖邊界所在曲線有交點時停止.設(shè)交點為，過點作，垂足為.修建方案是：先沿方向修建到處，再沿方向修建到處.

理由：設(shè)過點的直線與軸相交于點.在景觀湖邊界所在曲線上任取一點，過點作直線與軸相交于點.因為，所以.同理.因為，所以.因此，上述方案修建的道路最短.