Question

【題目】在中，，CD是AB邊上的高，若.

（1）求CD的長.

（2）動點P在邊AB上從點A出發向點B運動，速度為1個單位/秒；動點Q在邊AC上從點A出發向點C運動，速度為v個單位秒，設運動的時間為，當點Q到點C時，兩個點都停止運動.

①若當時，，求t的值.

②若在運動過程中存在某一時刻，使成立，求v關于t的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）CD=8；（2）t=4；（3）()

【解析】

（1）作AE⊥BC于E，根據等腰三角形三線合一的性質可得BE=BC，然后利用勾股定理求出AE，再用等面積法可求出CD的長；

（2）①過B作BF⊥AC于F，易得BF=CD，分別討論Q點在AF和FC之間時，根據△BQF≌△CPD，得到PD=QF，建立方程即可求出t的值；

（3）同（2）建立等式關系即可得出關系式，再根據Q在FC之間求出t的取值范圍即可.

解：（1）如圖，作AE⊥BC于E，

∵AB=AC，

∴BE=BC=

在Rt△ABE中，

∵△ABC的面積=

∴

（2）過B作BQ⊥AC，當Q在AF之間時，如圖所示，

∵△ABC的面積=，AB=AC

∴BF=CD

在Rt△CPD和Rt△BQF中

∵CP=BQ，CD=BF，

∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）

∴PD=QF

在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10

∴

同理可得AF=6

∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t

由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，

∵t＞0，

∴此種情況不符合題意，舍去；

當Q點在FC之間時，如圖所示，

此時PD=6-t，QF=2t-6

由PD=QF得6-t=2t-6，

解得t=4，

綜上得t的值為4.

（3）同（2）可知v＞1時，Q在AF之間不存在CP=BQ，Q在FC之間存在CP=BQ，Q在F點時，顯然CP≠BQ，

∵運動時間為t，則AP=t，AQ=vt，

∴PD=6-t，QF=vt-6，

由PD=QF得6-t=vt-6，

整理得，

∵Q在FC之間，即AF＜AQ≤AC

∴，代入得

，解得

所以答案為()