Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，過點E作EF∥BC交CD于點F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求點E到BC的距離；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM⊥EF交BC于點M，過M作MN∥AB交折線ADC于點N，連接PN，設EP=x．
①當點N在線段AD上時（如圖2），△PMN的形狀是否發生改變？若不變，求出△PMN的周長；若改變，請說明理由；
②當點N在線段DC上時（如圖3），是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過構建直角三角形然后運用勾股定理求解．
（2）①△PMN的形狀不會變化，可通過做EG⊥BC于G，不難得出PM=EG，這樣就能在三角形BEG中求出EG的值，也就求出了PM的值，如果做PH⊥MN于H，PH是三角形PMH和PHN的公共邊，在直角三角形PHM中，有PM的值，∠PMN的度數也不難求出，那么就能求出MH和PH的值，也就求出HN和PN的值了，有了PN，PM，MN的值，就能求出三角形MPN的周長了．
②本題分兩種情況進行討論：
1、N在CD的DF段時，PM=PN．這種情況同①的計算方法．
2、N在CD的CF段時，又分兩種情況進行討論
MP=MN時，MC=MN=MP，這樣有了MC的值，x也就能求出來了
NP=NM時，我們不難得出∠PMN=120°，又因為∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度．這樣點P與F就重合了，△PMC即這是個直角三角形，然后根據三角函數求出MC的值，然后就能求出x了．
綜合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情況找出來就行了．

解答：解：（1）如圖1，過點E作EG⊥BC于點G．
∵E為AB的中點，
∴BE=

1

2

AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=

1

2

BE=1，EG=

22-12

=

3

即點E到BC的距離為

3

（2）①當點N在線段AD上運動時，△PMN的形狀不發生改變．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四邊形EPMG為矩形，
∴EP=GM，PM=EG=

3

同理MN=AB=4．
如圖2，過點P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，
∴∠PMH=∠PMC-∠NMC=30°．
∴PH=

1

2

PM=

3

2

∴MH=PM•cos30°=

3

2

則NH=MN-MH=4-

3

2

=

5

2

在Rt△PNH中，PN=

NH2+PH2

=

( 5 2 )2+( 3 2 )2

=

7

∴△PMN的周長=PM+PN+MN=

3

+

7

+4

②當點N在線段DC上運動時，△PMN的形狀發生改變，但△MNC恒為等邊三角形．
當PM=PN時，如圖3，作PR⊥MN于R，則MR=NR．
類似①，PM=

3

，∠PMR=30°，
MR=PMcos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等邊三角形，
∴MC=MN=3．
此時，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
當MP=MN時，
∵EG=

3

，
∴MP=MN=

3

，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等邊三角形，
∴MC=MN=MP=

3

（如圖4），
此時，x=EP=GM=6-1-

3

=5-

3

，
當NP=NM時，如圖5，∠NPM=∠PMN=30度．
則∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此點P與F重合，△PMC為直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此時，x=EP=GM=6-1-1=4．
綜上所述，當x=2或4或（5-

3

）時，△PMN為等腰三角形．

點評：本題綜合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性質，中位線定理，勾股定理等知識點的應用．