Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10，點P從A點出發沿AD邊向點D移動，點Q自A點出發沿A→B→C的路線移動，且PQ∥DC，若AP=x，梯形位于線段PQ右側部分的面積為S．
（1）分別求出點Q位于AB、BC上時，S與x之間函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時，x的值是多少？
（3）在（2）的條件下，設線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于O點，那么OE與OF的長度有什么關系？借助備用圖2說明理由；并進一步探究：對任何一個梯形，當一直線l經過梯形中位線的中點并滿足什么條件時，其一定平分梯形的面積？（只要求說出條件，不需證明）

Answer 1

分析：（1）當AP≤12時，只是△AQP的面積，當AP＞12時，為一三角形加一平行四邊形的面積，所以分情況討論．
（2）中先求出梯形的總面積，因為總面積的一半大于AP≤12時的最大面積，所以只能是第二種情況．
（3）可利用中位線，平行四邊形求出OF，再與OE比較大小．

解答：解：（1）等腰梯形中，∠A=∠D，因為PQ∥DC，所以QP=AQ，
當x≤12時，S_AQP=

1

2

x×

2

3

x=

1

3

x²，
當x＞12時，S_梯形=S_ABP+S_{平行四邊形}=48+（x-12）×8，
所以

S△APQ=  1 3 x2(x≤12) S梯形=S△APQ+S平行四邊形=48+(x-12)×8(12＜x≤20)

；

（2）
過C作CT⊥AD于T，過B作BH⊥AD于H，
即∠CTD=∠BHA=90°，CT∥BH，
∵BC∥AD，
∴四邊形CBHT是平行四邊形，
∴BC=TH=8，
∵等腰梯形ABCD，
∴CD=AB，BC∥AD，∠D=∠A，
在△CTD和△BHA中

∠D=∠A ∠CTD=∠BHA CD=AB

，
∴△CTD≌△BHA，
∴CT=BH，DT=AH=

1

2

（20-8）=6，
由勾股定理得：CT=BH=8，
S_梯形=

1

2

×（BC+AD）×CT=

1

2

（8+20）×8=112，
當線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時，
即48+（x-12）•8=56，
解之得，x=13．

（3）如圖所示，
①過點B作BM∥PQ，
由（2）得，PD=7=OE，在△ABM中，FN=

1

2

AM=6，ON=PM=1，所以OF=7=OE．
研究發現，當直線L經過梯形中位線的中點且與較短的底（上底）相交時，它一定平分梯形的面積．

點評：熟練掌握等腰梯形的性質及判定．