Question

【題目】（1）如圖1，為上一點，若，，求證：．

（2）如圖2，中，，為上一點，為上一點，，，，求．

（3）如圖，在四邊形中，，，，，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據相似三角形的判定，可證得，根據相似三角形的性質可得，再利用兩邊對應成比例且夾角相等這個判定就可證得；

（2）根據可以設，由，可得，根據相似的性質進而表示出BP的長，由（1）中的結論，和CB=CD可證得，進而可得，根據相似的性質即可求出答案；

（3）過點A作AD⊥AE，與DC的延長線交于E點，根據兩邊成比例且夾角相等可證得，根據相似的性質可得BE的長，進而得出，由勾股定理可求出DE的長，再由30°直角三角形的性質即可求出AD的長．

（1）證明：∵，，

∴，

∴，即，

又∵，

∴

∴．

（2）作于，過點作交延長線于，

∵，

∴設，，，

∵，

∴∠BPC=∠ACB=90°，

∴∠B+∠BCP=90°，∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=∠B，

∴，

∴，

∴，

∵

∴，，

由（1）得，，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

（3）過點A作AD⊥AE，與DC的延長線交于E點，如圖，

∵AD⊥AE，∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠EAD=90°，

∴∠BAE=∠CAD，

∵，

∴∠ABC=∠AED=30°，

∴，，

∴,

∴，

∴，∠AEB=60°，

∴，

在△BED中，由勾股定理得，

，

∴．