Question

已知拋物線的頂點(diǎn)A（2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，－1）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上找出一點(diǎn)C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)A．并求出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及此時(shí)圓的圓心P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，設(shè)直線x=t（0<t<10）與拋物線交于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時(shí)，△BCN的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

（1）（2）(5, )（3）當(dāng)t=5時(shí)，有最大值，最大值是

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)是A（2，0），∴設(shè)拋物線的解析式為。
由拋物線過(guò)B(0,－1) 得，∴。
∴拋物線的解析式為，即。
（2）設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，
∵A在以BC為直徑的圓上，∴∠BAC=90⁰。
過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，連接AB、AC，

∵∠BAO＋∠DAC=90⁰, ∠DAC＋∠DCA=90⁰，
∴∠BAO =∠DCA。
∴△AOB∽△CDA。∴。∴OB·CD=OA·AD，即1·。∴。
∵點(diǎn)C在第四象限，∴。
由解得：。
∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (10,－16)。
∵P為圓心，∴P為BC中點(diǎn)。
取OD中點(diǎn)H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線。
∴PH=(OB+CD)=。
∵D(10，0)，∴H(5，0)。∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(5, )。  
（3）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，直線x=t（0<t<10）與直線BC交于點(diǎn)M，
∵，
∴。
設(shè)直線BC的解析式為，

∵直線BC經(jīng)過(guò)B(0,－1)、C (10,－16)，
∴，解得：。
∴直線BC的解析式為。
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為.。
∴MN=，
∴。
∴當(dāng)t=5時(shí)，有最大值，最大值是。
（1）已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可直接設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式進(jìn)行求解。
（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,由題意可知∠BAC=90⁰.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，連接AB，AC，易證△AOB∽△CDA，根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例得出x，y的關(guān)系式，再根據(jù)點(diǎn)C在拋物線上，聯(lián)立兩個(gè)關(guān)系式組成方程組，求出x，y的值，再根據(jù)點(diǎn)C所在的象限確定點(diǎn)C的坐標(biāo)。P為BC的中點(diǎn)，取OD中點(diǎn)H，連PH，則PH為梯形OBCD的中位線，可得OH=OD=5，PH=(OB+CD)= ，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）根據(jù)得，所以求的最大值就是求MN的最大值，而M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以MN就等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，從而形成關(guān)于MN長(zhǎng)的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的最值求解。