Question

如圖，拋物線y=ax²+c（a≠0）經過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）求證：AO=AM；
（3）探究：
①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；
②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+c（a≠0）經過C（2，0），D（0，﹣1），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為y=x²﹣1。
（2）證明：設點A的坐標為（m， m²﹣1），
則。
∵直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點M的縱坐標為﹣2。
∴AM=m²﹣1﹣（﹣2）=m²+1。
∴AO=AM。
（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴。
②k取任何值時，設點A（x₁， x₁²﹣1），B（x₂， x₂²﹣1），
則。
聯立，消掉y得，x²﹣4kx﹣4=0，
由根與系數的關系得，x₁+x₂=4k，x₁•x₂=﹣4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁•x₂=16k²+8，x₁²•x₂²=16。
∴。
∴無論k取何值，的值都等于同一個常數1。

試題分析：（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。
（2）根據拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證。
（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入計算即可得解；
②設點A（x₁， x₁²﹣1），B（x₂， x₂²﹣1），然后表示出，再聯立拋物線與直線解析式，消掉未知數y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出x₁+x₂，x₁•₂，并求出x₁²+x₂²，x₁²•x₂²，然后代入進行計算即可得解。