Question

【題目】如圖，二次函數y=a(x2-2mx-3m2)（其中a，m為常數，且a>0，m>0）的圖象與x軸分別交于點A、B（點A位于點B左側），與y軸交于點C(0，-3)，點D在二次函數圖象上，且CD∥AB，連AD；過點A作射線AE交二次函數于點E，使AB平分∠DAE．

（1）當a=1時，求點D的坐標；

（2）證明：無論a、m取何值，點E在同一直線上運動；

（3）設該二次函數圖象頂點為F，試探究：在x軸上是否存在點P，使以PF、AD、AE為邊構成的三角形是以AE為斜邊的直角三角形？如果存在，請用含m的代數式表示點P的橫坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D(2，－3)；（2）證明見解析；（3）P(－3m，0)或(5m，0).

【解析】試題分析：（1）根據題意將a=1，C（0，﹣3）代入y=a（x2﹣2mx﹣3m2），進而求出m的值，即可得出答案；

（2）首先根據題意表示出A，B，C，D，進而聯立，求出E點坐標即可得出答案；

（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3），再利用PF，AD，AE的關系得出答案．

解：（1）當a=1時，y=a（x2﹣2mx﹣3m2）=x2﹣2mx﹣3m2，

∵與y軸交于點C（0，﹣3），

∴﹣3m2=﹣3，

解得：m=±1，

∵m＞0，

∴m=1，

∴拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4，

故拋物線頂點坐標為：D（2，﹣3）；

（2）作D關于AB對稱的點D′必在AE上，

當y=0，則0=a（x2﹣2mx﹣3m2），

解得：x1=﹣m，x2=3m，

當x=0，y=﹣3am2，

可得：A（﹣m，0）、B（3m，0），C（0，﹣3am2），D（2m，﹣3am2）

∴D′（2m，3am2），

∵拋物線過點C，

∴﹣3am2=﹣3，

則am2=1，

∴直線AD′的解析式為：y=x+1，

聯立，整理得x2﹣3mx﹣4m2=0

解得x1=4m，x2=﹣m（舍去）

∴E（4m，5）

∴E在y=5上運動；

（3）由（2）得：F（m，﹣4）、E（4m，5）、A（﹣m，0）、D（2m，﹣3）

設P（b，0）

∴PF2=（m﹣b）2+16，AD2=9m2+9，AE2=25m2+25

∴（m﹣b）2+16+9m2+9=25m2+25，

解得：b1=﹣3m，b2=5m

∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．