Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，OC=3OA．

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

又∵OC=3OA，

∴OA=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），

將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得： ，

解得： ，

故這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：在該拋物線上存在點(diǎn)F（2，﹣3），使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

理由：由（1）得D（1，﹣4），則直線CD的解析式為：y=﹣x﹣3，

故E點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，0），

∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），

代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，﹣3）符合．

∴拋物線上存在點(diǎn)F（2，﹣3），使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形

（3）

解：①如圖，當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R＞0），

則N（R+1，R），代入拋物線的表達(dá)式，解得R= ，

其中R= （不合題意，舍去），

∴R= ．

②如圖，當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r＞0），

則N（r+1，﹣r），

代入拋物線的表達(dá)式，解得：r= ，

其中r= （不合題意，舍去），

∴r= ．

綜合①②得：圓的半徑為 或 ．

【解析】（1）分別確定A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，可得點(diǎn)F的可能坐標(biāo)，再由點(diǎn)F在拋物線上，可最終確定；（3）分兩種情況討論，①M(fèi)N在x軸上，②MN在x軸下，表示出N的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得半斤的長(zhǎng)度．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．