Question

【題目】如圖，⊙O上有一個動點A和一個定點B，令線段AB的中點是點P，過點B作⊙O的切線BQ，且BQ=3，現測得的長度是，的度數是120°，若線段PQ的最大值是m，最小值是n，則mn的值是（　　）

A. 3 B. 2 C. 9 D. 10

Answer 1

【答案】C

【解析】

連接OP，OB，O′點為OB的中點，如圖，先利用弧長公式計算出⊙O的半徑為2，再利用垂徑定理得到OP⊥AB，則∠OPB=90°，于是利用圓周角定理得到點P在以OB為直徑的圓上，直線QO′交⊙O′于E、F，如圖，根據切線的性質得到OB⊥PQ，則利用勾股定理可計算出O′Q=，利用點與圓的位置關系得到m=+1，n=-1，然后計算mn即可．

連接OP，OB，O′點為OB的中點，如圖，

設⊙O的半徑為r，

根據題意得π，解得r=2，

∵P點為AB的中點，

∴OP⊥AB，

∴∠OPB=90°，

∴點P在以OB為直徑的圓上，

直線QO′交⊙O′于E、F，如圖，

∴BQ為切線，

∴OB⊥PQ，

在Rt△O′BQ中，O′Q==，

∴QE=+1，QF=-1，

即m=+1，n=-1，

∴mn=（+1）（-1）=10-1=9．

故選C．