Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，C是半圓上一點，連接BC、AC，過點O作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延長交AB的延長線于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=3，CE=，求線段CE、BE與劣弧BC所圍成的圖形面積（結果保留根號和π）．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ﹣．

【解析】

（1）如圖，連接OC．欲證DE是⊙O的切線，只需證得OC⊥DE；

（2）設AD=CD=x，Rt△ADE中，由AD2+AE2=DE2求得x的值，從而得出DE=2AD，據此知∠E=30°、∠BOC=60°，設圓的半徑為r，在Rt△OCE中由OC2+CE2=OE2可得r的值，根據S=S△COE-S扇形BOC求解可得．

（1）如圖，連接OC，

∵AD是過點A的切線，AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥AB，

∴∠DAB=90°．

∵OD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵OC=OB，

∴∠2=∠4．

∴∠1=∠3．

在△COD和△AOD中，

∵

∴△COD≌△AOD（SAS）

∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于點C．

∵OC是⊙O的半徑，

∴DE是⊙O的切線；

（2）設AD=x，

由△COD≌△AOD知CD=AD=x，

在Rt△ADE中，由AD2+AE2=DE2可得x2+32=（+x）2，

解得：x=，

則AD=、DE=2，

∴sin∠E=，

∴∠E=30°，

∵∠ACE=90°，

∴∠COB=60°，

設圓的半徑為r，

在Rt△OCE中，由OC2+CE2=OE2可得r2+（）2=（3﹣r）2，

解得：r=1，

則S=S△COE﹣S扇形BOC=．