Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，（點A在點B的左側），與直線AC交于點C（2，3），直線AC與拋物線的對稱軸l相交于點D，連接BD．

（1）求拋物線的函數表達式，并求出點D的坐標；
（2）如圖2，若點M、N同時從點D出發，均以每秒1個單位長度的速度分別沿DA、DB運動，連接MN，將△DMN沿MN翻折，得到△D′MN，判斷四邊形DMD′N的形狀，并說明理由，當運動時間t為何值時，點D′恰好落在x軸上？
（3）在平面內，是否存在點P（異于A點），使得以P、B、D為頂點的三角形與△ABD相似（全等除外）？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

設直線AC的函數解析式為y=kx+b，

將A（﹣1，0）、C（2，3）代入y=kx+b，得：

，

解得： ，

∴直線AC的函數解析式為y=x+1，

又∵點D是直線AC與拋物線的對稱軸的交點，

∴xD=1，yD=1+1=2，

∴點D的坐標為（1，2）

（2）

解：四邊形DMD′N是正方形，理由如下：

∵拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，

∴令y=0，得﹣x2+2x+3=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0）、B（3，0），

∴AD= =2 ，BD= =2 ，AB=1+3=4，

而AD2+BD2=AB2，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴∠DAB=∠DBA=45°，∠ADB=90°，

由翻折可知：D′M=DM、DN=ND′，

又∵DM=DN，

∴四邊形MDND′為菱形，

∵∠MDN=90°，

∴四邊形MDND′是正方形；

設DM=DN=t，當點D落在x軸上的點D′處時，

∵四邊形MDND′為正方形，

∴∠D′NB=90°，

在Rt△D′NB中，D′N=t，BN=2 ﹣t，BD′=2，

∴t2+（2 ﹣t）2=22，

∴t1=t2= ，

即：經過 s時，點D恰好落在x軸上的D′處

（3）

解：存在，

如圖，

由（2）知△ABD為等腰直角三角形，

∵△PBD與△ABD相似，且不全等，

∴△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，

∴點P的坐標為（1，0）或（2，3）

【解析】（1）先利用待定系數法求得拋物線和直線的解析式，從而得出對稱軸與直線的交點；（2）由拋物線解析式求得點A、B坐標，結合點D坐標可知△ABD為等腰直角三角形，即∠DAB=∠DBA=45°、∠ADB=90°，由翻折性質得D′M=DM、DN=ND′，從而得出四邊形MDND′為菱形，根據∠MDN=90°即可得四邊形MDND′為正方形；設DM=DN=t，在Rt△D′NB中D′N=t、BN=2 ﹣t、BD′=2，根據勾股定理即可得出t的值；（3）由△ABD為等腰直角三角形及△PBD與△ABD相似且不全等，知△PBD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，結合圖形即可得答案．