Question

已知以x為自變量的二次函數y=x²+2mx+m-7．
（1）求證：不論m為任何實數，二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側，關于x的一元二次方程m²x²+（2m+3）x+1=0有兩個實數根，且m為整數，求m的值；
（3）在（2）的條件下，關于x的另一方程x²+2（a+m）x+2a-m²+6 m-4=0有大于0且小于5的實數根，求a的整數值．

Answer 1

分析：（1）首先令y=0，然后求出△＞0，就求出方程有兩個不相等的實數根；
（2）依題意得出當x=1時函數值小于0，那么m＜2；由拋物線有兩個實數根求出△≥0，聯立求出m值；
（3）由求根公式求出x的值，然后求出a的取值范圍．

解答：（1）證明：令x²+2mx+m-7=0．
得△=（2m）²-4（m-7）=4(m-

1

2

)2+27．
∵不論m為任何實數，都有4(m-

1

2

)2+27＞0，即△＞0．
∴方程有兩個不相等的實數根．
∴不論m為任何實數，二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；（2分）

（2）解：∵二次函數圖象的開口向上，且與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側，
∴當x=1時，y=1²+2m+m-7＜0．
解得m＜2．①（3分）
∵關于x的一元二次方程m²x²+（2m+3）x+1=0有兩個實數根，
∴△=（2m+3）²-4m²≥0，且m²≠0．
解得m≥-

3

4

，且m≠0．②（4分）
∵m為整數，由①，②可得m的值是1；（5分）

（3）解：當m=1時，方程x²+2（a+m）x+2a-m²+6m-4=0為x²+2（a+1）x+2a+1=0．
由求根公式，得x=

-2(a+1)±2a

2

．
∴x=-2a-1或x=-1．（6分）
∵方程有大于0且小于5的實數根，
∴0＜-2a-1＜5．
∴-3＜a＜-

1

2

．
∴a的整數值為-2，-1．（7分）

點評：考查二次函數的圖象與x軸都有兩個交點，b²-4ac＞0；關于x的一元二次方程就有兩個實數根，b²-4ac≥0．