Question

【題目】在△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F．

探究：當AB=AC且C，D兩點重合時（如圖1）探究：

（1）線段BE與FD之間的數量關系，直接寫出結果 ；

（2）∠EBF= ．

證明：當AB=AC且C，D不重合時，探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明．

計算：當AB=AC時，如圖，求的值 （用含的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）BE=FD；（2）22.5°，證明：BE=FD，見解析；計算：

【解析】

探究：（1）首先延長CA與BE交于點G，根據∠EDB=∠C，BE⊥DE，判斷出BE=EG=BG；然后根據全等三角形的判定方法，判斷出△ABG≌△ACF，即可判斷出BG=CF=FD，再根據BE=BG，可得BE=FD，據此判斷即可；

（2）根據（1）的結論易求得答案；

證明：過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H，仿照（1）的方法判斷出△DEB≌△DEG和△GBH≌△FDH，即可推出結論；

計算：利用（2）的結論證得△GBH∽△FDH和△BHD∽△BAC，利用對應邊成比例即可求得結論．

探究：（1）如圖①，延長CA與BE交于點G，

∵∠EDB=∠C，

∴∠EDB =∠EDG，
即CE是∠BCG的平分線，
又∵BE⊥DE，
∴BE=EG=BG，
∵∠BED=∠BAD=90°，∠BFE=∠CFA，
∴∠EBF=∠ACF，
即∠ABG=∠ACF，
在△ABG和△ACF中，

，

∴△ABG≌△ACF，
∴BG=CF=FD，
又∵BE=BG，

∴BE=FD；

（2）∵AB=AC，∠A=90°，

∴∠ACB=45，

由（1）得CE是∠BCG的平分線，且∠EBF=∠ACF，

∴∠EBF=∠ACB=；

證明：結論BE=FD．

證明如下：

如圖②，過點D作DG∥CA，與BE的延長線相交于點G，與AB相交于點H，

則∠GDB=∠C，∠BHD=∠A=90°=∠GHB．

∵∠EDB=∠C=∠GDB=∠EDG，

在△DEB和△DEG中，

，

∴△DEB≌△DEG，

∴BE=GE=GB．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=∠GDB，

∴HB=HD．

∵∠BED=∠BHD=90°， ∠BFE=∠DFH，

∴∠EBF=∠HDF，

在△GBH和△FDH中，

，

∴△GBH≌△FDH，

∴GB=FD，

∴BE=FD；

計算：∵△DEB≌△DEG，BE=GB，∠BHD=∠BEF=90°，∠EBF=∠HDF，

∴△GBH∽△FDH，

∴，即．

又∵DG∥CA，

∴△BHD∽△BAC，

∴，即．

∴．