Question

【題目】如圖24，在平面直角坐標系中，圓D與軸相切于點C(0,4)，與軸相交于A、B兩點，且AB=6

（1）D點的坐標是 ，圓的半徑為 ；

（2）求經過C、A、B三點的拋物線所對應的函數關系式；

（3）設拋物線的頂點為F,試證明直線AF與圓D相切；

（4）在軸下方的拋物線上，是否存在一點N，使面積最大，最大面積是多少？并求出點坐標.

Answer 1

【答案】（1）（5，4）, 5；

（2）；

（3）證明見解析；

（4）存在點N，使面積最小，當a=4時， 最大，最大值為16,此時，N（4，-2）

【解析】（1）連接DC，則DC⊥y軸，過點D作DE⊥AB于點E，則根據垂徑定理可得AE=BE=3，連接DA，在Rt△ADE中可求出DA，即圓的半徑，也可得出點D的坐標；
（2）利用待定系數法可求出經過C、A、B三點的拋物線的解析式．
（3）因為D為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，利用勾股定理的逆定理證明∠DAF=90°即可．
（4）設存在點N，過點N作NP與y軸平行，交BC于點P，求出直線BC的解析式，設點N坐標（a， ），則可得點P的坐標為（a， a+4），從而根據S△BCN=S△BPN+S△PCN，表示出△BCN的面積，利用配方法可確定最大值，繼而可得出點N的坐標．

解：（1）解：連接DC，則DC⊥y軸，

過點D作DE⊥AB于點E，則DE垂直平分AB，
∵AB=6，∴AE=3，
在Rt△ADE中，AD==5，
故可得點D的坐標為（5，4），圓的半徑為5；
（2）解：設經過點A、B、C三點的拋物線解析式為：y=ax2+bx+c，
將三點坐標代入可得： ，解得： ，
故經過C、A、B三點的拋物線的解析式為：y=．
（3）證明：因為D為圓心，A在圓周上，DA=r=5，故只需證明∠DAF=90°，
拋物線頂點坐標：F（5， ），DF=4+=，AF=，
∵DA2+AF2=52+（）2==（）2=DF2，
∴∠DAF=90°
所以AF切于圓D．
（4）解：存在點N，使△CBN面積最大．
根據點B及點C的坐標可得：直線BC的解析式為：y=x+4，
設N點坐標（a， ），過點N作NP與y軸平行，交BC于點P，

可得P點坐標為（a， x+4），
則NP=a+4-（）=，

故S△BCN=S△BPN+S△PCN=×PN×OH+×PN×BH=PN×BO=×8×（a2+2a）=16-（a-4）2
當a=4時，S△BCN最大，最大值為16，此時，N（4，-2）．

“點睛”本題考查了二次函數及圓的綜合，涉及了垂徑定理、拋物線求二次函數解析式、切線的判定與性質，綜合考察的知識點較多，同學們注意培養自己解答綜合題的能力，關鍵還是基礎知識的掌握，要能將所學知識融會貫通，第四問解法不止一種，同學們可以積極探索其他解法．