Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點，交y軸與C點.

(1)求該拋物線的解析式.
(2)在該拋物線位于第二象限的部分上是否存在點D，使得△DBC的面積S最大？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(3)設拋物線的頂點為點F,連接線段CF,連接直線BC,請問能否在直線BC上找到一個點M,在拋物線上找到一個點N,使得C、F、M、N四點組成的四邊形為平行四邊形,若存在，請寫出點M和點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)；(2)存在，(-2，,6)；(3)存在，M₁（,3），N₁()；M₂（），N₂()；M₃（），N₃()；M₄（1,5），N₄().

試題分析：(1)根據交點式直接求解；
(2)設點D的坐標為(a,)，用a表示出△DBC的面積S，由二次函數的最值求出即可；
(3)根據平行四邊形的判定，分類求解即可.
試題解析：(1)∵拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點，
∴拋物線解析式為.
(2)如圖，設點D的坐標為(a,),過點D作平行于y軸的直線交直線BC于點E,
由C（0，4）、B（-4，0）可得直線BC:，∴點E（a,a+4）.
∴S=.
∴當a=-2時，S最大，點D的坐標為(-2，,6).

(3)存在，M₁（,3），N₁()；M₂（），N₂()；
M₃（），N₃()；M₄（1,5），N₄().