Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點O為坐標原點，正方形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，點B的坐標為（4，4），反比例函數的圖象經過線段BC的中點D，交正方形OABC的另一邊AB于點E．

（1）求k的值；

（2）如圖①，若點P是x軸上的動點，連接PE，PD，DE，當△DEP的周長最短時，求點P的坐標；

（3）如圖②，若點Q（x，y）在該反比例函數圖象上運動（不與D重合），過點Q作QM⊥y軸，垂足為M，作QN⊥BC所在直線，垂足為N，記四邊形CMQN的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）8 ；（2）（）；（3）S=8-4x，0<x＜2；S=4x-8,x>2

【解析】

（1）首先根據題意求出C點的坐標，然后根據中點坐標公式求出D點坐標，由反比例函數y=（x＞0，k≠0）的圖象經過線段BC的中點D，D點坐標代入解析式求出k即可；

（2）根據軸對稱的性質找到點P的位置：作點E關于x軸的對稱點E′，連接DE′，交x軸于點P，求得直線DE′與x軸的交點坐標即可；

（3）分兩步進行解答，①當Q在直線BC的上方時，即0＜x＜2，如圖1，根據S四邊形CMQN=CNQD列出S關于x的解析式，②當Q在直線BC的下方時，即x＞2，如圖2，依然根據S四邊形CMQN=CNQD列出S關于x的解析式．

（1）如圖①，

∵正方形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（4，4），

∴C（0，4），

∵D是BC的中點，

∴D（2，4），

∵反比例函數y=（x＞0，k≠0）的圖象經過點D，

∴k=8；

（2）如圖①，作點E關于x軸的對稱點E′，連接DE′，交x軸于點P，

把x=4代入y=，得y=2，則E（4，2），

故點E關于x軸對稱的點E′（4，-2），

設直線DE′的方程為y=kx+b（k≠0），

將D（2，4），E′（4，-2）分別代入得到：，

解得，

故直線DE′的方程為y=-3x+10，

當y=0時，x=，

即P（，0）；
（3）如圖②，

當Q在直線BC的上方時，即0＜x＜2，

如圖1，∵點Q（x，y）在該反比例函數的圖象上運動，

∴y=，

∴S四邊形CMQN=CNQD=x（-4）=8-4x（0＜x＜2），

如圖③，

當Q在直線BC的下方時，即x＞4，同理求出S四邊形CMQN=CNQD=x（4-）=4x-8（x＞2），

綜上S=．