Question

（2009•昌平區一模）請閱讀下列材料：
問題：如圖1，點A，B在直線l的同側，在直線l上找一點P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如圖2，作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點P即為所求．

請你參考小明同學的思路，探究并解決下列問題：
（1）如圖3，在圖2的基礎上，設AA′與直線l的交點為C，過點B作BD⊥l，垂足為D．若CP=1，PD=2，AC=1，寫出AP+BP的值；
（2）將（1）中的條件“AC=1”去掉，換成“BD=4-AC”，其它條件不變，寫出此時AP+BP的值；
（3）請結合圖形，直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理和相似三角形的性質，求得AP，BP的值即可；
（2）由勾股定理和相似三角形的性質，建立方程求解；
（3）結合圖形，由（1）（2）直接寫出即可．
解答：解：（1）在Rt△ACP中，由勾股定理得，AP=，
∵△ACP≌△A′CP，△A′CP∽△BDP，
∴CP：PD=A′P：BP，解得BP=2，
∴AP+BP的值為；

（2）∵△A′CP∽△BDP
∴BD：A′C=PD：CP=2：1
∴BD=4-AC=2AC
∴AC=，BD=
由勾股定理知，AP=，BP=
∴AP+BP的值為5；

（3）∵2m-3+8-2m=5，
∴=．
故有最小值為．
點評：本題利用了勾股定理，相似三角形的性質，類比的方法求解．