Question

25、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H．
（1）如圖①，當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數量關系：

AH=AB

；
（2）如圖②，當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，（1）中發現的AH與AB的數量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長．（可利用（2）得到的結論）

Answer 1

分析：（1）由三角形全等可以證明AH=AB，
（2）延長CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，
（3）分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE，設AH=x，則MC=x-2，NC=x-3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．

解答：解：（1）如圖①AH=AB．（1分）

（2）數量關系成立．如圖②，延長CB至E，使BE=DN．
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°．
∴Rt△AEB≌Rt△AND．（3分）
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．
∴∠EAM=∠NAM=45°．
∵AM=AM，
∴△AEM≌△ANM．（4分）
∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，
∴AB=AH．（5分）

（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．
分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCD，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．
設AH=x，則MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²
∴5²=（x-2）²+（x-3）²（6分）
解得x₁=6，x₂=-1．（不符合題意，舍去）
∴AH=6．（7分）

點評：本題主要考查正方形的性質和三角形全等的判斷，不是很難．