Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE=BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG=DE，連接FG，FC．
（1）請判斷：FG與CE的數量關系是 ， 位置關系是；
（2）如圖2，若點E、F分別是CB、BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請出判斷判斷并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）FG=CE；FG∥CE
（2）解：結論仍然成立．

理由：如圖2中，設DE與CF交于點M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，

在△CBF和△DCE中，

，

∴△CBF≌△DCE，

∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，

∵∠BCF+∠DCM=90°，

∴∠CDE+∠DCM=90°，

∴∠CMD=90°，

∴CF⊥DE，

∵GE⊥DE，

∴EG∥CF，

∵EG=DE，CF=DE，

∴EG=CF，

∴四邊形EGFC是平行四邊形．

∴GF=EC，

∴GF=EC，GF∥EC．

【解析】解：（1）結論：FG=CE，FG∥CE． 理由：如圖1中，設DE與CF交于點M．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，
，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90°，
∴∠CDE+∠DCM=90°，
∴∠CMD=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四邊形EGFC是平行四邊形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF∥EC．
所以答案是：FG=CE，FG∥CE；

【考點精析】通過靈活運用正方形的性質，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．