Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是BC邊上一動點（點E不與點B、C重合），以線段DE為邊長，作正方形DEFG，使得點F、G落在直線DE的下方，連接AF、BF．當△ABF為等腰三角形時，BE的長為_____．

Answer 1

【答案】或1-

【解析】

分兩種情形: ①如圖1中, 當FA=FB時, 由ΔDCE≌ΔEMF, 推出FM=BM, 推出四邊形BMNF是正方形即可解決問題.(2)如圖2中,當BA=BF時,根據CE=BM=FN即可解決問題.

解：

如圖1中,當FA=FB時,作FN⊥AB于N,FM⊥CB于M,

四邊形ABCD、DEFG是正方形,

∠C=∠DEF=∠M=∠ABC=,DE=EF,DC=BC,

∠DEC+∠FEM=, ∠CDE+∠DEC=，

∠CDE=∠FEM ,

在ΔDCE和ΔEMF中,

∠C=∠M，∠CDE=∠FEM ,DE=EF

ΔDCE≌ΔEMF, FM=CE,CD=EM=BC

BM=EC=FM ,

ΔBMF是等腰直角三角形,

∠FBM=∠FBN=,

∠FNB=,FA=FB,

AN=BN=NF=

∠M=∠MBN=∠BNF=,四邊形BMFN是矩形,

NF=NB,

四邊形BMFN 是正方形,

BM=FN= CE=EB=

②如圖2中,

當BA=BF時,由(1)可知,ΔBNF是等腰直角三角形, BF=AB=1,

BM=CE=FN=,

EB=BC-CE=1-

故答案為或1-.