Question

【題目】如圖所示，點I是的內心，AI的延長線交的外接圓于點D，交BC邊于點E，

求證：（1）ID=BD

（2）BD2 =DA·ED

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）連接BI，由內心的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，而∠1=∠5，由此可得∠5=∠2，即可證明∠BID=∠IBD，由等角對等邊即可得出結論；

（2）由（1）得∠5=∠2，易證得△BED∽△ABD，由此可得出所求的結論．

（1）連接BI．

∵I是△ABC的內心，∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵∠5=∠1，∴∠5=∠2．

∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，∴∠BID=∠DBI，∴ID=BD；

（2）由（1）得：∠5=∠2．

又∵∠D=∠D，∴△BDE∽△ADB，∴BD：DE=AD：BD；∴BD2=ADDE．