Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，若點P和點P1關于y軸對稱，點P1和點P2關于直線l對稱，則稱點P2是點P關于y軸，直線l的二次對稱點．
（1）如圖1，點A（﹣1，0）．
①若點B是點A關于y軸，直線l1：x=2的二次對稱點，則點B的坐標為；
②若點C（﹣5，0）是點A關于y軸，直線l2：x=a的二次對稱點，則a的值為；
③若點D（2，1）是點A關于y軸，直線l3的二次對稱點，則直線l3的表達式為；
（2）如圖2，⊙O的半徑為1．若⊙O上存在點M，使得點M'是點M關于y軸，直線l4：x=b的二次對稱點，且點M'在射線y= x（x≥0）上，b的取值范圍是；
（3）E（t，0）是x軸上的動點，⊙E的半徑為2，若⊙E上存在點N，使得點N'是點N關于y軸，直線l5：y= x+1的二次對稱點，且點N'在y軸上，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）（3.0）；-2；y=﹣x+2
（2）﹣ ≤b≤1
（3）如圖6中，設點E關于y軸的對稱點為E1，E1關于直線y= x+1的對稱點為E′，易知當點N在⊙E上運動時，點N′在⊙E′上運動，由此可見當⊙E′與y軸相切或相交時滿足條件．

連接E1E′交直線y= x+1于K，易知直線E1E′的解析式為y=﹣ x﹣ t，

由 解得 ，

∴K（ ， ），

∵KE1=KE′，

∴E′（ ， ），

當⊙E′與y軸相切時，| |=2，解得t= ﹣4或 +4，

綜上所述，滿足條件的t的取值范圍為 ﹣4≤t≤ +4

【解析】解：（1.）①如圖1中，點A（﹣1，0）關于y軸的對稱點A1（1，0），A1關于直線x=2的對稱點B（3，0）．
②如圖2中，由題意C（﹣5，0），A1（1，0），∵A1、C關于直線x=a對稱，
∴a=﹣2．

③如圖3中，∵A1（1，0），D（2，1），
∴直線A1D的解析式為y=x﹣1，線段A1D的中垂線的解析式為y=﹣x+2，
∴直線l3的解析式為y=﹣x+2．

故答案分別為（3，0），a=﹣2．y=﹣x+2．
（2.）如圖4中，

由題意b= MM′，由此可知，當MM′的值最大時，可得b的最大值，
∵直線OM′的解析式為y= x，
∴∠MM′O=∠M′OD=30°，
∵OM=1，易知，OM⊥OM′時，MM′的值最大，最大值為2，
∴b的最大值為1，
如圖5中，易知當點M在x軸的正半軸上時，可得b的最小值，最小值為﹣ ，

綜上所述，滿足條件的b取值范圍為﹣ ≤b≤1．
所以答案是﹣ ≤b≤1．