Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的圖象與x軸有兩個公共點．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m取滿足條件的最小的整數， ①寫出這個二次函數的解析式；
②當n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是﹣6≤y≤4﹣n，求n的值；
③將此二次函數平移，使平移后的圖象經過原點O．設平移后的圖象對應的函數表達式為y=a（x﹣h）2+k，當x＜2時，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=mx2﹣（2m+1）x+m﹣5的圖象與x軸有兩個公共點，

∴關于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5=0有兩個不相等的實數根，

∴ ，

解得：m＞﹣ 且m≠0．

（2）解：①∵m＞﹣ 且m≠0，m取其內的最小整數，

∴m=1，

∴二次函數的解析式為y=x2﹣3x﹣4．

②∵拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，1＞0，

∴當x≤ 時，y隨x的增大而減小．

又∵n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是﹣6≤y≤4﹣n，

∴ ，解得：n=﹣2．

③根據平移的性質可知，a=1，

∵當x＜2時，y隨x的增大而減小，

∴h≥2．

∵平移后的圖象經過原點O，

∴0=（0﹣h）2+k，即k=﹣h2，

∴k≤﹣4．

【解析】（1.）由拋物線與x軸有兩個交點，可得出關于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣5=0有兩個不相等的實數根，利用根的判別式△＞0結合二次項系數非零，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；（2.）①取（1）中m的最小整數，將其代入二次函數解析式中即可；②找出拋物線的對稱軸為x= ，根據二次函數的性質結合“當n≤x≤1時，函數值y的取值范圍是﹣6≤y≤4﹣n”，即可得出關于n的一元二次方程以及一元一次不等式，解之即可得出n的值；③根據平移的性質可得出a=1，由二次函數的性質可得出h≥2，再將（0，0）代入二次函數解析式中可得出k=﹣h2 ， 進而即可得出k的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用二次函數圖象的平移和二次函數的最值，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．