Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始，沿AB邊以1cm/s的速度向點B運動：點Q從點B開始，沿BC邊以2cm/s的速度向點C運動，當點P運動到點B時，運動停止，如果P，Q分別從A，B兩點同時出發．
（1）幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？
（2）幾秒后以P，B，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】
（1）解：設t秒后△PBQ的面積等于8cm，此時，AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，

∵S△PBQ= BPBQ，即 （6﹣t）×2t=8，即t2+6t+8=0，解得t1=2，t2=4．

∴2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm2

（2）解：設x秒后以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，此時，AP=x，BP=6﹣x，BQ=2x，

② 若△BPQ∽△BAC，則 ，即 = ，解得x=3；

②若△BPQ∽△BCA，則 = ，即 = ，解得x=1.2．

綜上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似

【解析】（1）設t秒后△PBQ的面積等于8cm，此時，AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，再由三角形的面積公式即可得出結論；（2）設x秒后以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，此時，AP=x，BP=6﹣x，BQ=2x，再分△BPQ∽△BAC與△BPQ∽△BCA兩種情況進行討論即可．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定，需要了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能得出正確答案．