Question

如圖，拋物線y=a（x﹣h）²+k經過點A（0，1），且頂點坐標為B（1，2），它的對稱軸與x軸交于點C．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）在第一象限內的拋物線上求點P，使得△ACP是以AC為底的等腰三角形，請求出此時點P的坐標．
（3）上述點是否是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點？若是，請說明理由；若不是，請求出第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=a（x﹣h）²+k頂點坐標為B（1，2），
∴y=a（x﹣1）²+2。
∵拋物線經過點A（0，1），∴a（0﹣1）²+2=1，解得a=﹣1。
∴此拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+2，即y=﹣x²+2x+1。
（2）∵A（0，1），C（1，0），∴OA=OC。
∴△OAC是等腰直角三角形。
過點O作AC的垂線l，根據等腰三角形的“三線合一”的性質知：l是AC的中垂線，
∴l與拋物線的交點即為點P。
如圖，直線l的解析式為y=x，

解方程組，
得或（不合題意舍去）。
∴點P的坐標為（，）。
（3）點P不是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點．
由（1）知，點C的坐標為（1，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則，解得。
∴直線AC的解析式為y=﹣x+1．
設與AC平行的直線的解析式為y=﹣x+m．
解方程組，代入消元，得﹣x²+2x+1=﹣x+m，即x²﹣3x+m﹣1=0。
∵此點與AC距離最遠，∴直線y=﹣x+m與拋物線有且只有一個交點。
∴方程x²﹣3x+m﹣1=0有兩個相等的實數根。
△=9﹣4（m﹣1）=0，解之得m=。
∴x²﹣3x+﹣1=0，解得x₁=x₂=，此時y=。
∴第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標為（，）。

試題分析：（1）由拋物線y=a（x﹣h）²+k的頂點坐標是B（1，2）知：h=1，k=2，則y=a（x﹣1）²+2，再把A點坐標代入此解析式即可。
（2）易知△OAC是等腰直角三角形，可得AC的垂直平分線是直線y=x，根據“線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等”知直線y=x與拋物線的交點即為點P，解方程組即可求出P點坐標。
（3）先求出第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點的坐標，再與P點的坐標比較進行判斷．滿足條件的點一定是與直線AC平行且與拋物線有唯一交點的直線與拋物線相交產生的，易求出直線AC的解析式，設出與AC平行的直線的解析式，令它與拋物線的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點坐標，通過判斷它與點P是否重合來判斷點P是否是第一象限內此拋物線上與AC距離最遠的點。