Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ，當△CQE的面積為3時，求點Q的坐標；

（3）若平行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）.問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）、y＝-x2+x+4；（2）、Q（1,0）；（3）、P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）或P（1＋，3）或P（1－，3）.

【解析】

試題分析：（1）、首先將A、C兩點代入求出函數解析式；（2）、首先根據函數解析式得出點B的坐標，求出AB和BQ的長度，根據QE∥AC得出△BQE和△BAC相似得出EG的長度，然后根據三角形的面積得出點m的值，即得到點Q的坐標；（3）、根據DO=DF，FO=FD，OD=OF三種情況分別進行計算，得出點P的坐標.

試題解析：（1）由題意，得 ，解得， ∴所求拋物線的解析式為y＝-x2+x+4

（2）如圖，設點Q的坐標為（m，0），過點E作EG⊥x軸于點G，由-x2+x+4＝0，

得x1=-2，x2=4,∴點B的坐標為（-2，0） ，∴AB=6，BQ= m +2

∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC ，∴= 即=，∴EG=

∴ S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG =（m+2）（4－） =-m2+m+=3,

∴ m2－2m－8＝-9, ∴m=1 ∴Q（1，0）

（3）存在

在△ODF中，

①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DF=2,又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC= 45°

∴∠DFA=∠OAC= 45°∴∠ADF=90°此時，點F的坐標為（2，2）

由，得x1=1＋，x2=1－

此時，點P的坐標為：P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）

②如圖，

若FO=FD，過點F作FM⊥ 軸于點M，由等腰三角形的性質得：OM＝OD＝1,∴AM=3

∴在等腰直角三角形△AMF中，MF=AM=3 ∴F（1，3）

由-x2+x+4＝3，得x1=1＋，x2=1－

此時，點P的坐標為：P（1＋，3）或P（1－，3）

③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC= 4

∴點O到AC的距離為2，而OF=OD=2＜2

此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形.

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形.所求點P的坐標為：

P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）或P（1＋，3）或P（1－，3）